Днес думата "Интеграл" може да се чуе доста често и често на най-неочакваните места, например в канал за обмен по телевизията или в новините. Често чуваме израза „интегрирани индикатори“, думата „интегриран“, „интегративен“ и други подобни. Е, като цяло, официалните лица и телевизионните водещи, като цяло, много обичат различни умни думи, макар че едва ли разбират истинското им значение. И днес ще говорим за това какво е интеграл, какви видове интеграли съществуват и какви са техните разлики.
Какъв е интегралът
Integral е латинска дума, която дойде при нас от древността и означава „Цялостно“ или „Пълно“. Тоест, ясно е, че ако са казали „цяло число“ за определен обект, например съд с мляко, това означава, че е пълен и в него има толкова мляко, колкото е имало.
С течение на времето тази дума започна да се използва в напълно различни дисциплини - във философията, политиката, икономиката, в алгебрата и геометрията. Но най-простата интерпретация на интеграла се дава от математиката.
Определен интеграл
И така, интегралът е определена сума от отделни части. Ето най-простите примери за по-ясно разбиране на същността на този термин:
- Темата е интегралът (сумата) от молекулите.
- Лист в клетка е неразделна (сума) от клетки.
- Слънчевата система е интегралът (сумата) на слънцето и планетите.
- Обществото е неразделна част от хората.
- Един сегмент е интеграл (сума) от метри. Ако малък сегмент, тогава сантиметри, милиметри или микроскопични сегменти.
- Площта на повърхността е неразделна част от квадратни метра, квадратни сантиметри или милиметри, както и микроскопични области.
- Обемът е неразделна част от кубичните метри или, както ги наричат още, литри.
Какви са категорични и неопределени интеграли?
Нека започнем с определен, тъй като значението му е по-лесно за разбиране..
Област за изследване на геометрията. Например, ако искате да залепите тапети у дома, трябва да знаете площта на стените, за да разберете колко тапети трябва да купите. След това просто умножавате дължината на стената по височината и получавате нейната площ. В този случай тази площ е неразделна част от квадратни метри или сантиметри, в зависимост от това в кои единици сте я измервали. Но повърхностите, чиято площ трябва да изчислим, не винаги имат формата на правоъгълник, квадрат или дори кръг. В повечето случаи това са сложни фигури с вълнообразни страни. Най-често срещаният пример е площта на фигура под крива, имаща уравнението y = 1 / x. Факт е, че е невъзможно да намерим неговата площ, използвайки обичайните формули, с които намираме площта на квадрат, кръг или дори сфера. За тази цел е разработен определен интеграл..
Същността на метода е, че нашата сложна фигура трябва да бъде разделена на много тесни правоъгълници, толкова тесни, че височината на всеки два съседни е почти равна. Ясно е, че всъщност дебелината на тези правоъгълници може да бъде намалена безкрайно, следователно, размерът dx се използва за посочване на тяхната дебелина. X е координатата, а префиксът d е обозначаването на безкрайно намалено количество. Следователно, когато пишем dx - това означава, че вземаме отсечка по оста x, дължината на която е много малка, е практически нула.
И така, ние вече се съгласихме, че площта на която и да е фигура е интеграл от квадратни метра или всякакви други фигури с по-малки площи. Тогава нашата фигура, чиято област търсим, е интегралът или сумата от тези безкрайно тънки правоъгълници, в които я разделяме. А площта му е сборът на техните площи. Тоест цялата ни задача е да намерим площта на всеки от тези правоъгълници и след това да ги добавим всички - това е определен интеграл.Сега нека поговорим за неопределения интеграл. Само, за да разберете какво е, първо трябва да научите за производната. Така че нека започнем.
Производната е ъгълът на наклон на допирателната към която и да е графика в някакъв момент върху нея. С други думи, производната е доколко графиката е наклонена на нейното място. Например, права линия във всяка точка има същия наклон, а кривата е различна, но може да се повтори. Има специални формули за изчисляване на производната и процесът на нейното изчисляване се нарича диференциация. Т.е. диференциацията е определянето на ъгъла на графиката в дадена точка.
Таблица на основните неопределени интеграли
И за да направят обратното, да открият формулата на графиката по ъгъла на нейния наклон, те прибягват до операцията за интегриране или да обобщават данни за всички точки. Интеграцията и диференциацията са два взаимни процеса. Само тук те вече използват не интеграла, който беше в първия параграф (за определяне на площта), а другия - неопределен, тоест без ограничения.
Да предположим, че знаем, че производната на някаква функция е 5. 5 е ъгълът на графиката спрямо оста x в дадена точка. След това, интегрирайки производната, установяваме, че функцията на това производно, която се нарича още антидериват, е y = 5x + c, където c е произволно число. За интеграция, както и за разграничаване има специални формули, които могат да бъдат намерени в таблиците.заключение
В заключение обобщаваме, че основната разлика между определен интеграл и неопределен е в техните цели. Определени интеграли се използват за изчисляване на ограничени параметри, като площ, дължина или обем и неопределен, при изчисляване на параметри, които нямат граници, т.е. функции.
Интересно видео по тази тема:
